HIPER JANIKA, Budownictwo UTP, III rok, V semestr - DUL, Metody Obliczeniowe
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->Metody obliczeniowe – zagadnienia na zaliczenie wykładów1.Wymienić grupy równań tworzące model matematyczny ciała sprężystego wsformułowaniu lokalnym. Krótko scharakteryzować poszczególne grupy.2.Czym różni się model matematyczny zagadnienia w sformułowaniu lokalnym, od modelu wsformułowaniu globalnym?3.Czym są przemieszczenia wirtualne?4.Przedstawić zasadę pracy wirtualnej.5.Czym jest metoda różnic skończonych (MRS)?6.Wymienić etapy stasowania MRS do rozwiązywania belek. Krótko omówić wybrany etap.7.Zapisać ogólne postaci I i II różnicy skończonej. Wyjaśnić użyte oznaczenia.8.Czym jest interpolacja?9.Czym jest wielomian uogólniony? Zapisać ogólną postać z wyjaśnieniami oznaczeń.10.Na czym polega interpolacja funkcjami sklejanymi?11.Czym jest aproksymacja?12.Przedstawić istotę aproksymacji metoda najmniejszych kwadratów.13.Wymienić metody aproksymacyjnego rozwiązywania równań różniczkowych. Krótkoomówić jedną z nich.14.Czym jest reziduum?15.Przedstawić istotę metody elementów skończonych (MES) bazującej na aproksymacjiGalerkina.1. Wymienić grupy równań tworzące model matematyczny ciała sprężystego wsformułowaniu lokalnym. Krótko scharakteryzować poszczególne grupy.- równania równowagi - podstawowe równania opisujące stan równowagi ciała. Sumarycznasiła i moment siły działające na ciało są równe 0,- równania geometryczne- zależności między odkształceniami i przemieszczeniami- warunki brzegowe - zespół warunków, jaki ma spełniać (w określonym miejscu przestrzeni)funkcja będąca rozwiązaniem równania różniczkowego (np. na brzegu obszaru określonościrozwiązania). Określenie warunków brzegowych pozwala wybrać jednoznaczne rozwiązaniedanego równania,- warunki początkowe – określają stan wyjściowy układu, którego ewolucję mamy zamiaropisać2. Czym różni się model matematyczny zagadnienia w sformułowaniu lokalnym, od modelu wsformułowaniu globalnym?Sformułowanie lokalne – opis ciała przy pomocy zależności różniczkowych odnoszących siędo każdego nieskończenie małego fragmentu konstrukcjiSformułowanie globalne – opis ciała przy pomocy zależności całkowych( równania całkowe,funkcjonały, układy równań całkowych) odnoszących się do całego tego ciała. Zależności tewynikają najczęściej zastosowania pracy wirtualnej lub równania wariacyjnego.3. Czym są przemieszczenia wirtualne?Przemieszczenia wirtualne to każde dowolne, możliwe przemieszczenie punktu, zgodne zwięzami. Jeżeli położenie punktu określone jest za pomocą wektora→,to przemieszczenie����przygotowane oznaczamy symbolem���� →.Przemieszczenie���� →jest to pomyślane��������(wyobrażalne) przesunięcie punktu, o kierunku zgodnym z kierunkiem możliwej prędkościtego punktu.Przemieszczenie wirtualne jest wektorem, które można przedstawić w postaci:Cechy:- pomyślane- możliwe, tzn. kinematycznie dopuszczalne- niezależne od czynników zewnętrznych (np. obciążeń)- bardzo małe w porównaniu z wymiarami ciała- niezależne od czasu- ciągłe (co najmniej raz różniczkowalne)4. Przedstawić zasadę pracy wirtualnej.- Praca rzeczywistych sił zewnętrznych (biernych i czynnych) na przemieszczeniachwirtualnych jest równa pracy sił wewnętrznych (wynikających z działania obciążeńzewnętrznych) na wewnętrznych przemieszczeniach wirtualnych.- Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi dowolnego układu punktów jest, abysuma prac wirtualnych wszystkich sił czynnych i sił reakcji więzów, przy dowolnymprzemieszczeniu wirtualnym była równa zero.- Wariacja funkcjonału pracy sił wewnętrznych jest równa wariacji funkcjonału pracy siłzewnętrznych.5. Czym jest metoda różnic skończonych (MRS)?MRS służy do przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych. Jest to metodanumeryczna (daje rozwiązanie przybliżone), efektywna tylko przy wykorzystaniu komputera.Istotą MRS jest bezpośrednie zastąpienie równań różniczkowych lub układów tych równańrównaniami algebraicznymi (im więcej tym rozwiązanie dokładniejsze).6. Wymienić etapy stasowania MRS do rozwiązywania belek. Krótko omówić wybrany etap.Kolejność postępowania:a) Dyskretyzacja belkib) Zamiana obciążeń skupionych na rozłożonec) Ustalenie istotnych parametrów w poszczególnych punktach dyskretyzacyjnych wartościsztywności oraz obciążeńd) Ułożenie układu równań MRS z uwzględnieniem warunków brzegowyche) Rozwiązanie układu równań i wyznaczenie wielkości statycznych i geometrycznychW, M, T, q, ϕf) Wykonanie wykresówAd.a) Dyskretyzacja belki – polega na poszukiwaniu rozwiązania jedynie w określonychpunktach. Proces przejścia z układu ciągłego do układu dyskretnego. Mechaniczny modelrzeczywistej konstrukcji zmieniamy na układ dyskretny, złożony ze zbioru węzłów ielementów skończonych. Dzielimy belkę na fragmenty����i= const. W punktach (węzłach)wyodrębnionych w wyniku dyskretyzacji wprowadzamy lokalne układy współrzędnych.Ad.b) Rozkładamy tylko te obciążenia skupione, które nie znajdują się na krańcach belki, boprościej wtedy wyznaczyć siły wewnętrzne.W MRS obciążenia skupione mogą być przyłożone tylko w węzłach (pkt. dyskretyzacji), jeślisiła znajduje się między nimi to przesuwamy ją do najbliższego węzła, gdyż nie będzie to wznaczącym stopniu rzutowało na wynik. Ewentualnie jeśli przesunięcie byłoby zbyt dużemożemy rozłożyć siłę na 2 inne składowe, przyłożone w węzłach (P=P1+P2).Ad c) W przypadku budowy wektora obciążeń uwzględniamy wyłącznie obciążenie rozłożone.Siły i momenty skupione przyłożone w rzeczywistych punktach początkowych i końcowychbelki uwzględniane są w warunkach brzegowych.Ad d) Podstawowym równaniem umożliwiającym zbudowanie układu równań jest równanieróżnicowe wiążace w sobie obciążenia zewnętrzne (qi) z uwzględnieniem poszczególnychpunktów (wi). Równanie to rozpisujemy dla wszystkich rzeczywistych punktów belki.Uzupełnieniem układu równań są równanie odnoszące się do warunków brzegowych. Dlapoczątku i końca belki układamy po 2 takie równania. W efekcie uzyskujemy układ w którymliczba równań jest zgodna z liczbą niewiadomych którymi są ugięcia we wszystkich punktachwyodrębnionych w procesie dyskretyzacji.7.Zapisać ogólne postaci I i II różnicy skończonej. Wyjaśnić użyte oznaczenia.-I RS��������������������−��������−1+ ��������+1(0) ==�������� ��������2����-II RS����2������������2������������−1− 2��������+ ��������+1=2(0) =��������2������������2Gdzie:����– stopień dyskretyzacji belki8. Czym jest interpolacja?Interpolacja polega na wyznaczaniu przybliżonych wartości funkcji w punktach nie będącychwęzłami oraz oszacowaniu błędu tych przybliżonych wartości. Sprowadza się to dowyznaczenia funkcji W(x) zwanej FUNKCJĄ INTERPOLUJĄCĄ, która w węzłach interpolacjiprzyjmuje takie same wartości jak f(x).9. Czym jest wielomian uogólniony? Zapisać ogólną postać z wyjaśnieniami oznaczeń.Wielomian uogólniony jest kombinacją liniowo niezależnych funkcji.����(����) = ��������(����) + ����1����1(����) + ⋯ + ����������������(����)������������(����) = ∑ ����������������(����)����=0Gdzie:- n – liczba punktów interpolacji- ai– współczynniki wielomianu interpolacyjnego, i=0,1,2,…,n-����i(x) – funkcje bazowe, funkcje naszej zmiennej wybierane wcześniej przedinterpolującego, aby spełnić warunki brzegowe, i=0,1,2,…,n10. Na czym polega interpolacja funkcjami sklejanymi?Jest to alternatywne podejście do przybliżenia funkcji dowolnej na domkniętym przedziale,polegająca na podziale tego przedziału na podprzedziały i skonstruowaniu różnychwielomianów interpolacyjnych dla każdego z nich.Interpolacja ta szczególnie jest wskazana gdy mamy dużo węzłów interpolacji, gdy dane sązwiązane z pewną znaną lub nieznaną funkcją, której pochodne są duże lub nie istnieją lubgdy dane pochodzą z nienaturalnego lub nie matematycznego gniazda (np. granice państwa,skrzydła samolotu). Najprostszym typem takiej interpolacji jest użycie funkcji liniowych cosprowadza się do połączenia odcinkami pkt. będących węzłami interpolacji. Żeby dokładnośćbyła zadowalająca należy przyjąć dużo punktów na wykresie. W przypadku użycia f.kwadratowych uzyskujemy gładszą f. interpolującą, ale nie można zapewnić by funkcjainterpolująca i funkcja interpolowana miały identyczne pochodne na końcach przedziałuinterpolacji. Najbardziej użyteczną interpolacją tego typu jest interpolacja funkcjamisklejanymi 3-go stopnia.11. Czym jest aproksymacja?Aproksymacja funkcji polega na wyznaczeniu takiej funkcji F(x), która przybliża funkcję f(x) wprzedziale <x1,xn> przy określonym kryterium np. przy minimalizacji normy zapisanej wnastępujący sposób ( aproksymacja jednostajna)���� = ||����(����) − ����(����)|| [ Pobierz całość w formacie PDF ]
zanotowane.pl doc.pisz.pl pdf.pisz.pl chiara76.opx.pl
//-->Metody obliczeniowe – zagadnienia na zaliczenie wykładów1.Wymienić grupy równań tworzące model matematyczny ciała sprężystego wsformułowaniu lokalnym. Krótko scharakteryzować poszczególne grupy.2.Czym różni się model matematyczny zagadnienia w sformułowaniu lokalnym, od modelu wsformułowaniu globalnym?3.Czym są przemieszczenia wirtualne?4.Przedstawić zasadę pracy wirtualnej.5.Czym jest metoda różnic skończonych (MRS)?6.Wymienić etapy stasowania MRS do rozwiązywania belek. Krótko omówić wybrany etap.7.Zapisać ogólne postaci I i II różnicy skończonej. Wyjaśnić użyte oznaczenia.8.Czym jest interpolacja?9.Czym jest wielomian uogólniony? Zapisać ogólną postać z wyjaśnieniami oznaczeń.10.Na czym polega interpolacja funkcjami sklejanymi?11.Czym jest aproksymacja?12.Przedstawić istotę aproksymacji metoda najmniejszych kwadratów.13.Wymienić metody aproksymacyjnego rozwiązywania równań różniczkowych. Krótkoomówić jedną z nich.14.Czym jest reziduum?15.Przedstawić istotę metody elementów skończonych (MES) bazującej na aproksymacjiGalerkina.1. Wymienić grupy równań tworzące model matematyczny ciała sprężystego wsformułowaniu lokalnym. Krótko scharakteryzować poszczególne grupy.- równania równowagi - podstawowe równania opisujące stan równowagi ciała. Sumarycznasiła i moment siły działające na ciało są równe 0,- równania geometryczne- zależności między odkształceniami i przemieszczeniami- warunki brzegowe - zespół warunków, jaki ma spełniać (w określonym miejscu przestrzeni)funkcja będąca rozwiązaniem równania różniczkowego (np. na brzegu obszaru określonościrozwiązania). Określenie warunków brzegowych pozwala wybrać jednoznaczne rozwiązaniedanego równania,- warunki początkowe – określają stan wyjściowy układu, którego ewolucję mamy zamiaropisać2. Czym różni się model matematyczny zagadnienia w sformułowaniu lokalnym, od modelu wsformułowaniu globalnym?Sformułowanie lokalne – opis ciała przy pomocy zależności różniczkowych odnoszących siędo każdego nieskończenie małego fragmentu konstrukcjiSformułowanie globalne – opis ciała przy pomocy zależności całkowych( równania całkowe,funkcjonały, układy równań całkowych) odnoszących się do całego tego ciała. Zależności tewynikają najczęściej zastosowania pracy wirtualnej lub równania wariacyjnego.3. Czym są przemieszczenia wirtualne?Przemieszczenia wirtualne to każde dowolne, możliwe przemieszczenie punktu, zgodne zwięzami. Jeżeli położenie punktu określone jest za pomocą wektora→,to przemieszczenie����przygotowane oznaczamy symbolem���� →.Przemieszczenie���� →jest to pomyślane��������(wyobrażalne) przesunięcie punktu, o kierunku zgodnym z kierunkiem możliwej prędkościtego punktu.Przemieszczenie wirtualne jest wektorem, które można przedstawić w postaci:Cechy:- pomyślane- możliwe, tzn. kinematycznie dopuszczalne- niezależne od czynników zewnętrznych (np. obciążeń)- bardzo małe w porównaniu z wymiarami ciała- niezależne od czasu- ciągłe (co najmniej raz różniczkowalne)4. Przedstawić zasadę pracy wirtualnej.- Praca rzeczywistych sił zewnętrznych (biernych i czynnych) na przemieszczeniachwirtualnych jest równa pracy sił wewnętrznych (wynikających z działania obciążeńzewnętrznych) na wewnętrznych przemieszczeniach wirtualnych.- Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi dowolnego układu punktów jest, abysuma prac wirtualnych wszystkich sił czynnych i sił reakcji więzów, przy dowolnymprzemieszczeniu wirtualnym była równa zero.- Wariacja funkcjonału pracy sił wewnętrznych jest równa wariacji funkcjonału pracy siłzewnętrznych.5. Czym jest metoda różnic skończonych (MRS)?MRS służy do przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych. Jest to metodanumeryczna (daje rozwiązanie przybliżone), efektywna tylko przy wykorzystaniu komputera.Istotą MRS jest bezpośrednie zastąpienie równań różniczkowych lub układów tych równańrównaniami algebraicznymi (im więcej tym rozwiązanie dokładniejsze).6. Wymienić etapy stasowania MRS do rozwiązywania belek. Krótko omówić wybrany etap.Kolejność postępowania:a) Dyskretyzacja belkib) Zamiana obciążeń skupionych na rozłożonec) Ustalenie istotnych parametrów w poszczególnych punktach dyskretyzacyjnych wartościsztywności oraz obciążeńd) Ułożenie układu równań MRS z uwzględnieniem warunków brzegowyche) Rozwiązanie układu równań i wyznaczenie wielkości statycznych i geometrycznychW, M, T, q, ϕf) Wykonanie wykresówAd.a) Dyskretyzacja belki – polega na poszukiwaniu rozwiązania jedynie w określonychpunktach. Proces przejścia z układu ciągłego do układu dyskretnego. Mechaniczny modelrzeczywistej konstrukcji zmieniamy na układ dyskretny, złożony ze zbioru węzłów ielementów skończonych. Dzielimy belkę na fragmenty����i= const. W punktach (węzłach)wyodrębnionych w wyniku dyskretyzacji wprowadzamy lokalne układy współrzędnych.Ad.b) Rozkładamy tylko te obciążenia skupione, które nie znajdują się na krańcach belki, boprościej wtedy wyznaczyć siły wewnętrzne.W MRS obciążenia skupione mogą być przyłożone tylko w węzłach (pkt. dyskretyzacji), jeślisiła znajduje się między nimi to przesuwamy ją do najbliższego węzła, gdyż nie będzie to wznaczącym stopniu rzutowało na wynik. Ewentualnie jeśli przesunięcie byłoby zbyt dużemożemy rozłożyć siłę na 2 inne składowe, przyłożone w węzłach (P=P1+P2).Ad c) W przypadku budowy wektora obciążeń uwzględniamy wyłącznie obciążenie rozłożone.Siły i momenty skupione przyłożone w rzeczywistych punktach początkowych i końcowychbelki uwzględniane są w warunkach brzegowych.Ad d) Podstawowym równaniem umożliwiającym zbudowanie układu równań jest równanieróżnicowe wiążace w sobie obciążenia zewnętrzne (qi) z uwzględnieniem poszczególnychpunktów (wi). Równanie to rozpisujemy dla wszystkich rzeczywistych punktów belki.Uzupełnieniem układu równań są równanie odnoszące się do warunków brzegowych. Dlapoczątku i końca belki układamy po 2 takie równania. W efekcie uzyskujemy układ w którymliczba równań jest zgodna z liczbą niewiadomych którymi są ugięcia we wszystkich punktachwyodrębnionych w procesie dyskretyzacji.7.Zapisać ogólne postaci I i II różnicy skończonej. Wyjaśnić użyte oznaczenia.-I RS��������������������−��������−1+ ��������+1(0) ==�������� ��������2����-II RS����2������������2������������−1− 2��������+ ��������+1=2(0) =��������2������������2Gdzie:����– stopień dyskretyzacji belki8. Czym jest interpolacja?Interpolacja polega na wyznaczaniu przybliżonych wartości funkcji w punktach nie będącychwęzłami oraz oszacowaniu błędu tych przybliżonych wartości. Sprowadza się to dowyznaczenia funkcji W(x) zwanej FUNKCJĄ INTERPOLUJĄCĄ, która w węzłach interpolacjiprzyjmuje takie same wartości jak f(x).9. Czym jest wielomian uogólniony? Zapisać ogólną postać z wyjaśnieniami oznaczeń.Wielomian uogólniony jest kombinacją liniowo niezależnych funkcji.����(����) = ��������(����) + ����1����1(����) + ⋯ + ����������������(����)������������(����) = ∑ ����������������(����)����=0Gdzie:- n – liczba punktów interpolacji- ai– współczynniki wielomianu interpolacyjnego, i=0,1,2,…,n-����i(x) – funkcje bazowe, funkcje naszej zmiennej wybierane wcześniej przedinterpolującego, aby spełnić warunki brzegowe, i=0,1,2,…,n10. Na czym polega interpolacja funkcjami sklejanymi?Jest to alternatywne podejście do przybliżenia funkcji dowolnej na domkniętym przedziale,polegająca na podziale tego przedziału na podprzedziały i skonstruowaniu różnychwielomianów interpolacyjnych dla każdego z nich.Interpolacja ta szczególnie jest wskazana gdy mamy dużo węzłów interpolacji, gdy dane sązwiązane z pewną znaną lub nieznaną funkcją, której pochodne są duże lub nie istnieją lubgdy dane pochodzą z nienaturalnego lub nie matematycznego gniazda (np. granice państwa,skrzydła samolotu). Najprostszym typem takiej interpolacji jest użycie funkcji liniowych cosprowadza się do połączenia odcinkami pkt. będących węzłami interpolacji. Żeby dokładnośćbyła zadowalająca należy przyjąć dużo punktów na wykresie. W przypadku użycia f.kwadratowych uzyskujemy gładszą f. interpolującą, ale nie można zapewnić by funkcjainterpolująca i funkcja interpolowana miały identyczne pochodne na końcach przedziałuinterpolacji. Najbardziej użyteczną interpolacją tego typu jest interpolacja funkcjamisklejanymi 3-go stopnia.11. Czym jest aproksymacja?Aproksymacja funkcji polega na wyznaczeniu takiej funkcji F(x), która przybliża funkcję f(x) wprzedziale <x1,xn> przy określonym kryterium np. przy minimalizacji normy zapisanej wnastępujący sposób ( aproksymacja jednostajna)���� = ||����(����) − ����(����)|| [ Pobierz całość w formacie PDF ]